8. Прямая y = 3x - 10 является касательной к графику функции y = x³ + x² - 13x + 10. Найдите абсциссу точки касания.

Решение: 1. Найдем производную функции $$y = x^3 + x^2 - 13x + 10$$: $$y' = 3x^2 + 2x - 13$$ 2. Так как прямая $$y = 3x - 10$$ является касательной, то значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, т.е. 3. $$3x^2 + 2x - 13 = 3$$ 3. Решим уравнение: $$3x^2 + 2x - 16 = 0$$ 4. Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 3 * (-16) = 4 + 192 = 196$$ 5. Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 * 3} = \frac{-2 + 14}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 * 3} = \frac{-2 - 14}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$$ 6. Найдем значения y для обеих точек: Для $$x = 2$$: $$y = 2^3 + 2^2 - 13 * 2 + 10 = 8 + 4 - 26 + 10 = -4$$. Уравнение касательной: $$y = 3 * 2 - 10 = -4$$. Подходит. Для $$x = -\frac{8}{3}$$: $$y = 3 * (-\frac{8}{3}) - 10 = -8 - 10 = -18$$. Проверим, принадлежит ли эта точка графику функции. 7. Таким образом, абсцисса точки касания $$x = 2$$. Ответ: 2