12. Найдите точку минимума функции y = x / (x² + 225).

Решение: 1. Найдем производную функции $$y = \frac{x}{x^2 + 225}$$: $$y' = \frac{(x^2 + 225) * 1 - x * 2x}{(x^2 + 225)^2} = \frac{x^2 + 225 - 2x^2}{(x^2 + 225)^2} = \frac{225 - x^2}{(x^2 + 225)^2}$$ 2. Найдем точки, где производная равна нулю: $$\frac{225 - x^2}{(x^2 + 225)^2} = 0$$ $$225 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 225$$ $$x = \pm 15$$ 3. Определим знак производной на интервалах: При $$x < -15$$, например, $$x = -20$$, $$y' = \frac{225 - (-20)^2}{((-20)^2 + 225)^2} = \frac{225 - 400}{(400 + 225)^2} < 0$$ При $$-15 < x < 15$$, например, $$x = 0$$, $$y' = \frac{225 - 0^2}{(0^2 + 225)^2} > 0$$ При $$x > 15$$, например, $$x = 20$$, $$y' = \frac{225 - 20^2}{(20^2 + 225)^2} = \frac{225 - 400}{(400 + 225)^2} < 0$$ 4. Таким образом, точка минимума - $$x = -15$$. Ответ: -15