А4. В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC, медианы AE и CK пересекаются в точке M, BM = 6 см, AC = 10 см. Чему равна площадь треугольника ABC?

В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны, т.е. AE = CK. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Так как BM = 6, то медиана BE = BM + ME, где ME = BM / 2 = 6 / 2 = 3. Значит, BE = 6 + 3 = 9. Медиана BE является также высотой в равнобедренном треугольнике, поэтому треугольник ABE прямоугольный. Сторона AE равна CK. AE = AM + ME, где AM = 2 * ME = 2 * 3 = 6. Значит, AE = 6 + 3 = 9. Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике ABE, найдем AB: AB^2 = AE^2 + BE^2. AB^2 = 10^2 + 9^2 = 100 + 81 = 181. AB = sqrt(181). AC = 10, значит, AO = OC = 5. Площадь треугольника ABC равна 1/2 * AC * BE = 1/2 * 10 * 9 = 45. Ответ: 2) 45 см²