С1. В треугольнике ABC высоты AA₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Найдите высоту, проведенную к стороне AC, если HA₁ = 3 см, BA₁ = 4 см, AH = 4 см.

Рассмотрим треугольник AHA₁. Он прямоугольный (AA₁ - высота). По теореме Пифагора: AH^2 = HA₁^2 + AA₁^2. 4^2 = 3^2 + A₁H^2 => A₁H^2 = 16 - 9 = 7 => A₁H = √7. Так как AA₁ - высота, то ∠BA₁A = 90°. Получаем прямоугольный треугольник BA₁A. AB^2= BA₁^2 + AA₁^2. AA₁ = A₁H + AH = 3 + 4 = 7. AB^2= 4^2 + 7^2= 16 + 49= 65. AB = √65. Дальнейшее решение требует дополнительной информации о типе треугольника или дополнительных соотношений, т.к. однозначного решения, исходя из представленных данных, найти нельзя.