А2. В треугольнике ABC высоты AK и BE пересекаются в точке O, ∠CAB = 42°. Чему равен угол ABE?

Рассмотрим четырехугольник CKOB, где K и E – основания высот, следовательно, углы CKA и CEB прямые (90°). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, ∠CKO + ∠CEB + ∠C + ∠BOK = 360°, т.е. 90° + 90° + ∠C + ∠BOK = 360°, откуда ∠C + ∠BOK = 180°. ∠BOK и ∠AOE – вертикальные углы, поэтому ∠BOK = ∠AOE. Следовательно, ∠C + ∠AOE = 180°. Рассмотрим треугольник AOE. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠CAB + ∠AOE + ∠ABE = 180°. Угол ∠CAB = 42°. Следовательно, 42° + ∠AOE + ∠ABE = 180°. Из равенства ∠C + ∠AOE = 180° выразим ∠AOE = 180° - ∠C. Подставим это значение в уравнение для треугольника AOE: 42° + (180° - ∠C) + ∠ABE = 180°. Упрощаем: 42° + ∠ABE = ∠C. В треугольнике ABC: ∠CAB + ∠ABC + ∠C = 180°, т.е. 42° + ∠ABE + ∠C = 180°. Заменим ∠C на 42° + ∠ABE: 42° + ∠ABE + 42° + ∠ABE = 180°. Получаем: 2 * ∠ABE = 180° - 84°, т.е. 2 * ∠ABE = 96°. ∠ABE = 48°. Ответ: 4) 48°