34.18. a) x³ + 8y³ + x²+4xy + 4y²;

34.18. a) Разложим выражение на множители:

$$x^3 + 8y^3 + x^2 + 4xy + 4y^2$$

Представим $$8y^3$$ как $$(2y)^3$$.

Используем формулу суммы кубов: $$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$$.

Тогда получим: $$x^3 + (2y)^3 = (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$$.

Исходное выражение можно переписать как:

$$(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + x^2 + 4xy + 4y^2$$

Заметим, что $$x^2 + 4xy + 4y^2 = (x+2y)^2$$.

Тогда получим:

$$(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x+2y)^2$$

Вынесем общий множитель $$(x+2y)$$ за скобки:

$$(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y) = (x+2y)(x^2 - 2xy + x + 4y^2 + 2y)$$

Ответ: $$(x+2y)(x^2 - 2xy + x + 4y^2 + 2y)$$