02.5. a) y = √x³ + 1;

a) Исследуем функцию $$y = \sqrt{x^3} + 1$$ на монотонность.

1. Находим область определения функции:

Так как корень квадратный, то $$x^3 ≥ 0$$, следовательно, $$x ≥ 0$$. Область определения: $$[0; +∞)$$.

2. Находим производную функции:

$$y' = (\sqrt{x^3} + 1)' = (x^{3/2} + 1)' = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$$.

3. Определяем знаки производной:

Так как $$x ≥ 0$$, то $$\frac{3}{2}\sqrt{x} ≥ 0$$ для всех $$x$$ из области определения. Производная равна 0 только в точке $$x = 0$$.

4. Делаем вывод о монотонности:

Поскольку производная $$y' ≥ 0$$ на области определения, функция $$y = \sqrt{x^3} + 1$$ возрастает на $$[0; +∞)$$.

Ответ: Функция возрастает на $$[0; +∞)$$.