А13. В четырехугольнике ABCD ∠C = 90°, ∠CBD = 30°, ∠ABD = 60°, ∠BDA = 30°. Определите вид этого четырехугольника.

Решение:

1. Рассмотрим \( ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \).
2. Итак, \( ∠C = 90^\circ \) и \( ∠ABC = 90^\circ \). Это означает, что стороны \( BC \) и \( AB \) перпендикулярны.
3. В треугольнике \( BCD \) имеем \( ∠C = 90^\circ \) и \( ∠CBD = 30^\circ \). Тогда \( ∠BDC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
4. В треугольнике \( ABD \) имеем \( ∠ABD = 60^\circ \) и \( ∠BDA = 30^\circ \). Тогда \( ∠BAD = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ \).
5. Итак, все углы четырехугольника \( ABCD \) равны 90°: \( ∠A = 90^\circ \), \( ∠B = 90^\circ \), \( ∠C = 90^\circ \), \( ∠D = ∠BDA + ∠BDC = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).
6. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: прямоугольник.