А14. В угол С величиной 40° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник \( CAOB \).

По условию, окружность вписана в угол \( C \), и точка \( O \) — центр окружности. Радиусы \( OA \) и \( OB \) проведены к точкам касания, поэтому они перпендикулярны сторонам угла:

\( ∠CAO = 90^\circ \)

\( ∠CBO = 90^\circ \)

Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \).

\( ∠AOB + ∠CAO + ∠CBO + ∠C = 360^\circ \)

\( ∠AOB + 90^\circ + 90^\circ + 40^\circ = 360^\circ \)

\( ∠AOB + 220^\circ = 360^\circ \)

\( ∠AOB = 360^\circ - 220^\circ \)

\( ∠AOB = 140^\circ \)

Ответ: 140°.