А13. В четырехугольнике АВСД \(\angle BAC = 40^{\circ}\), \(\angle BCA = 50^{\circ}\), \(\angle CAD = 50^{\circ}\), \(\angle ACD = 70^{\circ}\). Определите его вид.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
   \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle BCA = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 50^{\circ} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
   Таким образом, \( \angle B = 90^{\circ} \).
2. Рассмотрим треугольник \( ADC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
   \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
   Таким образом, \( \angle D = 60^{\circ} \).
3. В четырехугольнике \( ABCD \) сумма углов равна \( 360^{\circ} \).
   \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 40^{\circ} + 50^{\circ} = 90^{\circ} \).
   \( \angle C = \angle BCA + \angle ACD = 50^{\circ} + 70^{\circ} = 120^{\circ} \).
   Сумма всех углов: \( 90^{\circ} + 90^{\circ} + 120^{\circ} + 60^{\circ} = 360^{\circ} \).
4. У четырехугольника \( ABCD \) два противоположных угла прямые (\( \) и \( \)). Это означает, что точки \( A, B, C, D \) лежат на окружности с диаметром \( AC \).
   Следовательно, четырехугольник \( ABCD \) является вписанным в окружность.
5. У четырехугольника \( ABCD \) не все стороны равны и не все углы равны, поэтому он не является квадратом или ромбом.
6. Поскольку \( \) и \( \), то \( AB \) не параллельно \( CD \) и \( BC \) не параллельно \( AD \). Значит, это не параллелограмм.
7. Так как \( \) и \( \), то \( AD \) и \( BC \) не параллельны.
8. В четырехугольнике \( ABCD \) \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 90^{\circ} \). Это означает, что основание \( AD \) параллельно \( BC \) быть не может, так как тогда бы сумма углов \( \) и \( \) была бы \( 180^{\circ} \).
9. Проверим, является ли он прямоугольной трапецией. У нее должны быть две параллельные стороны и два прямых угла.
   Если \( AD \) || \( BC \), то \( + = 180^{\circ} \), но \( 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
   Значит, \( AD \) || \( BC \).
   Четырехугольник \( ABCD \) — прямоугольная трапеция.

Ответ: Прямоугольная трапеция.