А2. Симметричную монету бросили три раза. Найдите вероятность события: а) «результаты первого и последнего броска одинаковы»; б) «выпал хотя бы один орёл».

Решение:

При броске симметричной монеты три раза возможны \( 2^3 = 8 \) равновозможных исходов:

ООО, ООP, ОРО, OPP, POO, POP, PPO, PPP.

а) Событие «результаты первого и последнего броска одинаковы» включает исходы, где первый и последний символ одинаковы: ООО, OPO, PPO, PPP. Всего 4 благоприятных исхода.

\( P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)

б) Событие «выпал хотя бы один орёл» включает все исходы, кроме исхода PPP (когда орёл не выпал ни разу). Всего 7 благоприятных исходов.

\( P(B) = \frac{7}{8} \)

Ответ: а) \( \frac{1}{2} \); б) \( \frac{7}{8} \).