A2. В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а угол при основании равен 45°. Чему равна площадь трапеции?

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоту из вершины тупого угла. Это создаст прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона, один катет — высота \( h \), а второй катет — часть большего основания. Большее основание \( b = 10 \) см, меньшее — \( a = 6 \) см.

Разность оснований равна \( 10 - 6 = 4 \) см. Эта разность делится поровну между двумя боковыми частями основания, так что каждый такой отрезок равен \( 4 / 2 = 2 \) см.

В прямоугольном треугольнике угол при основании равен \( 45° \), а противолежащий катет — это высота \( h \). Тангенс угла \( 45° \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\( \tan(45°) = \frac{h}{2} \)

Так как \( \tan(45°) = 1 \), то \( 1 = \frac{h}{2} \), следовательно, \( h = 2 \) см.

Теперь найдем площадь трапеции по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{6 + 10}{2} \cdot 2 = \frac{16}{2} \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16 \) см².

Ответ: 16 см².