A9. Вычислите значение производной функции y = \( \frac{1}{2}tg(4x - \pi) + \frac{\pi}{4} \) в точке x₀ = \( \frac{\pi}{4} \).

Решение:

Сначала найдём производную функции \( y = \frac{1}{2}tg(4x - ̀̀) + \frac{̀̀}{4} \).

Используем правило дифференцирования сложной функции и производную тангенса \( (tg u)' = \frac{u'}{∅ cos^2 u} \).

\[ y' = \left( \frac{1}{2}tg(4x - ̀̀) + \frac{̀̀}{4} \right)' \]

\[ y' = \frac{1}{2} ∅ \) \frac{(4x - ̀̀)'}{∅ cos^2(4x - ̀̀)} + 0 \]

\[ y' = \frac{1}{2} ∅ \) \frac{4}{∅ cos^2(4x - ̀̀)} = \frac{2}{∅ cos^2(4x - ̀̀)} \]

Теперь подставим \( x_0 = \frac{̀̀}{4} \) в найденную производную:

\[ y'(\frac{̀̀}{4}) = \frac{2}{∅ cos^2(4 \cdot \frac{̀̀}{4} - ̀̀)} = \frac{2}{∅ cos^2(̀̀ - ̀̀)} = \frac{2}{∅ cos^2(0)} \]

Поскольку \( cos(0) = 1 \), то \( cos^2(0) = 1^2 = 1 \).

\[ y'(\frac{̀̀}{4}) = \frac{2}{1 ∅ \) 1} = 2 \]

Ответ: 2.