B2. Найдите значение x, при которых производная функции y = \( \frac{x-2}{x^2} \) равна 0.

Решение:

Сначала найдём производную функции \( y = \frac{x-2}{x^2} \) с помощью правила дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = x-2 \) и \( v = x^2 \). Тогда \( u' = 1 \) и \( v' = 2x \).

\[ y' = \frac{(1) ∅ \) x^2 - (x-2) ∅ \) (2x)}{(x^2)^2} \]

\[ y' = \frac{x^2 - (2x^2 - 4x)}{x^4} \]

\[ y' = \frac{x^2 - 2x^2 + 4x}{x^4} = \frac{-x^2 + 4x}{x^4} = \frac{x(-x + 4)}{x^4} = \frac{-x + 4}{x^3} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти значение x:

\[ \frac{-x + 4}{x^3} = 0 \]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

\[ -x + 4 = 0 \implies x = 4 \]

При \( x=4 \), знаменатель \( x^3 = 4^3 = 64 \) не равен нулю.

Ответ: 4.