12) ABCD - трапеция. B 10 C 7 45 H K D A

Рассмотрим рисунок. По условию задачи, BC = 10, BH = 7, угол BAH = 45°. Нужно найти площадь трапеции ABCD.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в котором угол BAH = 45°, тогда угол ABH = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABH – равнобедренный, и AH = BH = 7.

2) Рассмотрим прямоугольник BCKH. Так как BCKH – прямоугольник, то HK = BC = 10.

3) Так как углы при основании AD равны (оба по 45°), то трапеция равнобедренная. Следовательно, KD = AH = 7.

4) Найдем длину основания AD: AD = AH + HK + KD = 7 + 10 + 7 = 24.

5) Найдем площадь трапеции ABCD: $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{10 + 24}{2} \cdot 7 = \frac{34}{2} \cdot 7 = 17 \cdot 7 = 119$$.

Ответ: 119