11.* AC = ? Ответ:

11. Найдем AC

Рассмотрим треугольник AOB. Так как \(\angle AOB = 90^\circ\), то по теореме Пифагора:

\[AB^2 = AO^2 + BO^2\] \[AB^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3\] \[AB = \sqrt{3}\]

Так как AO - биссектриса угла BAC, то \(\angle OAC = \angle OAB\). Аналогично, \(\angle OCA = \angle OCB\).

Пусть \(\angle OAB = x\) и \(\angle OCB = y\). Тогда в треугольнике ABC:

\[2x + 2y + \angle B = 180^\circ\] \[2x + 2y + \angle B = 180^\circ\] \[2(x + y) = 180^\circ - 90^\circ\] \[x + y = 45^\circ\]

Тогда \(\angle ACB = y = 45^\circ - x\)

Рассмотрим треугольник AOB:

\[x + y + 90^\circ = 180^\circ\] \[x + y = 90^\circ\] \[ \angle AOC = 180 - x - y \]Тогда \(\angle C = \angle A \)

По теореме синусов:

\[ \frac{AC}{\sin{B}} = \frac{AB}{\sin{C}} \implies AC = \frac{AB \sin{B}}{\sin{C}} = \frac{\sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin{C}} \]Так как треугольник ABC - равнобедренный, то

\[ \angle A = \angle C = \frac{180 - 90}{2} = 45 \]Ответ: $$\sqrt{6}$$

Отлично! У тебя всё получается!