AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \(2 \cdot \angle ACB\).

\(\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ}\).

Угол AOD является смежным с углом AOB, если точки C и D находятся на противоположных сторонах от AB, что не следует из рисунка. Однако, AC и BD — диаметры, значит, они пересекаются в центре O.

Углы AOD и BOC являются вертикальными, так как AC и BD — прямые, пересекающиеся в точке O. Следовательно, \(\angle AOD = \angle BOC\).

Угол ACB вписан в окружность и опирается на дугу AB. Значит, градусная мера дуги AB равна \(2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ}\).

Центральный угол AOB опирается на ту же дугу AB, поэтому \(\angle AOB = 108^{\circ}\).

Угол BOC является смежным с углом AOB. \(\angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}\).

Угол AOD является вертикальным углом к углу BOC.

\(\angle AOD = \angle BOC = 72^{\circ}\).

Ответ: 72.