Правильный вариант: b) Закончив школу, она стала врачом.
Фраза After school, she went on to become a doctor означает, что после окончания школы она продолжила обучение и стала врачом. Вариант b) точно передает этот смысл.
Вариант a) После школы она пошла к врачу - подразумевает, что она просто посетила врача, что не соответствует контексту.
Ответ: b) Закончив школу, она стала врачом.