Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле А(ω) = , где ω – частота вынуждающей силы (в с⁻¹), А₀ – постоянный параметр, ωᵣ = 300c⁻¹ – резонансная частота. Найдите максимальную частоту ω, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину А₀ не более чем на 80%. Ответ дайте в с⁻¹.

Логика такая:

По условию, амплитуда колебаний должна превосходить величину Ao не более чем на 80%, то есть:

\[A(\omega) \ge 0.8 A_0\]

Подставим формулу для A(ω):

\[\frac{A_0 \omega_p^2}{|\omega^2 - \omega_p^2| + \omega \omega_p} \ge 0.8 A_0\]

Разделим обе части на A₀:

\[\frac{\omega_p^2}{|\omega^2 - \omega_p^2| + \omega \omega_p} \ge 0.8\]

Так как \(\omega < \omega_p\), то \(\omega^2 < \omega_p^2\), и выражение под модулем можно раскрыть как \(\omega_p^2 - \omega^2\):

\[\frac{\omega_p^2}{\omega_p^2 - \omega^2 + \omega \omega_p} \ge 0.8\]

Умножим обе части на знаменатель и разделим на 0.8:

\[\omega_p^2 \ge 0.8(\omega_p^2 - \omega^2 + \omega \omega_p)\] \[\omega_p^2 \ge 0.8 \omega_p^2 - 0.8 \omega^2 + 0.8 \omega \omega_p\] \[0.2 \omega_p^2 + 0.8 \omega^2 - 0.8 \omega \omega_p \ge 0\]

Подставим \(\omega_p = 300\):

\[0.2 (300)^2 + 0.8 \omega^2 - 0.8 \omega (300) \ge 0\] \[0.8 \omega^2 - 240 \omega + 18000 \ge 0\]

Разделим на 0.8:

\[\omega^2 - 300 \omega + 22500 \ge 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \(\omega^2 - 300 \omega + 22500 = 0\):

\[(\omega - 150)^2 = 0\] \[\omega = 150\]

Так как неравенство \(\omega^2 - 300 \omega + 22500 \ge 0\) выполняется при \(\omega = 150\), а по условию \(\omega < \omega_p\), то максимальная частота равна 150 c⁻¹.

Ответ: 150