2. АВ и ВС – отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. ОВ = 10, АО = 5. Чему равен угол АОС?

Так как АВ и ВС - касательные к окружности с центром О, то углы ОАВ и ОСВ прямые (равны 90°). Значит, треугольники АВО и СВО - прямоугольные.

Рассмотрим треугольник АВО. В нём АО = 5, ОВ = 10. Синус угла АВО равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $$sin(\angle ABO) = \frac{AO}{OB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$. Отсюда $$ \angle ABO = 30^\circ $$.

Треугольники АВО и СВО равны по катету и гипотенузе (АО = ОС как радиусы, ОВ - общая). Значит, углы АВО и СВО равны, и $$ \angle CBO = 30^\circ $$. Тогда $$ \angle ABC = \angle ABO + \angle CBO = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ $$.

Рассмотрим четырехугольник АВСО. Сумма его углов равна 360°. Из этого следует, что

$$ \angle AOC = 360^\circ - \angle OAB - \angle OCB - \angle ABC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ $$.

Ответ: 120°