3. Хорды КМ и РТ пересекаются в точке С, КС = 7 см, СМ = 4 см, РТ = 16 см. Найдите отрезки: а) РС, б) СТ.

По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть, $$KC \cdot CM = PC \cdot CT$$.

Пусть РС = х, тогда СТ = РТ - РС = 16 - х.

Подставим данные в уравнение: $$7 \cdot 4 = x \cdot (16 - x)$$.

$$28 = 16x - x^2$$

$$x^2 - 16x + 28 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144$$

$$x_1 = \frac{16 + \sqrt{144}}{2} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14$$

$$x_2 = \frac{16 - \sqrt{144}}{2} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

а) Если РС = 14 см, то СТ = 16 - 14 = 2 см.

б) Если РС = 2 см, то СТ = 16 - 2 = 14 см.

Ответ: а) РС = 14 см, СТ = 2 см; б) РС = 2 см, СТ = 14 см.