1. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 4 см в точке А так, что ОВ = 4√2 см. Чему равен отрезок АВ?

Рассмотрим треугольник ОАВ. По условию задачи, прямая АВ касается окружности в точке А, следовательно, ОА - радиус, проведенный в точку касания, и ОА перпендикулярен АВ. Значит, треугольник ОАВ - прямоугольный с прямым углом А.

Из теоремы Пифагора следует, что $$OB^2 = OA^2 + AB^2$$.

По условию, ОА = 4 см, ОВ = $$4\sqrt{2}$$ см. Тогда

$$AB^2 = OB^2 - OA^2 = (4\sqrt{2})^2 - 4^2 = 16 \cdot 2 - 16 = 32 - 16 = 16$$

$$AB = \sqrt{16} = 4$$ см.

Ответ: 4 см