8. АВСА,В,С - правильная усеченная пирамида. АВ = 12, A,B,₁ = 6, ∠(BCC, ABC) = 30°. Найдите ок

Решение:

Шаг 1: Анализ данных.

ABCA₁B₁C₁ - правильная усеченная пирамида, основаниями которой являются равносторонние треугольники ABC и A₁B₁C₁.

Сторона нижнего основания AB = 12, сторона верхнего основания A₁B₁ = 6. Угол между боковой гранью и основанием ∠(B₁CC₁, ABC) = 30°.

Шаг 2: Найдем периметры оснований.

\[P_{ABC} = 3 \cdot AB = 3 \cdot 12 = 36\] \[P_{A_1B_1C_1} = 3 \cdot A_1B_1 = 3 \cdot 6 = 18\]

Шаг 3: Найдем полупериметры оснований.

\[p_{ABC} = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{36}{2} = 18\] \[p_{A_1B_1C_1} = \frac{P_{A_1B_1C_1}}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Шаг 4: Найдем апофему.

Пусть K и K₁ — середины сторон BC и B₁C₁ соответственно. Тогда отрезок KK₁ является апофемой боковой грани и образует угол 30° с плоскостью основания ABC.

Проведем высоту K₁H к плоскости ABC. В прямоугольном треугольнике KK₁H угол ∠KK₁H = 30°.

Найдем KH:

\[KH = BK - B_1K_1 = \frac{AB}{2} - \frac{A_1B_1}{2} = \frac{12}{2} - \frac{6}{2} = 6 - 3 = 3\]

Теперь найдем KK₁:

\[KK_1 = \frac{KH}{cos(\angle KK_1H)} = \frac{3}{cos(30^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\]

Шаг 5: Найдем площадь боковой поверхности.

\[S_{бок} = \frac{P_{ABC} + P_{A_1B_1C_1}}{2} \cdot KK_1 = \frac{36 + 18}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{54}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 54\sqrt{3}\]