6. SABC — правильная пирамида, ∠(SAC, BAC) = 45°, d (O, SAC) = √6. Найдите Ѕбok

Решение:

Шаг 1: Определим основные параметры.

Пусть SABC - правильная пирамида, значит, в основании лежит равносторонний треугольник ABC. Угол между боковой гранью SAC и основанием BAC равен 45 градусам. Расстояние от центра основания O до грани SAC равно √6.

Шаг 2: Введем обозначения.

Пусть AB = BC = CA = a - сторона основания, SO - высота пирамиды, SK - апофема (высота боковой грани), OK = √6 - расстояние от центра основания до боковой грани.

Шаг 3: Найдем высоту основания.

Так как угол между боковой гранью и основанием равен 45°, то треугольник SOK - прямоугольный и равнобедренный, следовательно, SO = OK = √6.

Шаг 4: Найдем сторону основания.

OK - это радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник ABC:

\[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

Отсюда:

\[a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot OK = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\]

Шаг 5: Найдем апофему SK.

Апофема SK - это высота боковой грани SAC. Треугольник SOK - прямоугольный, поэтому:

\[SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{6 + 6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Шаг 6: Найдем периметр основания.

\[P = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\]

Шаг 7: Найдем площадь боковой поверхности.

\[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{6}\]