4. MABC – правильная пирамида, S поли = 27√3, Р ABC = 18. Найдите ∠BMC.

Решение:

Шаг 1: Найдем сторону основания.

Так как P_ABC = 18 и основание - равносторонний треугольник, то сторона основания AB равна:

\[AB = \frac{P_{ABC}}{3} = \frac{18}{3} = 6\]

Шаг 2: Найдем площадь основания.

Площадь равностороннего треугольника равна:

\[S_{ABC} = \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\]

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

\[S_{полн} = S_{бок} + S_{ABC}\]

Нам дана S_полн = 27√3, поэтому:

\[S_{бок} = S_{полн} - S_{ABC} = 27\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\]

Шаг 4: Найдем площадь одной боковой грани.

Так как пирамида правильная, все три боковые грани равны, поэтому площадь одной грани равна:

\[S_{MBC} = \frac{S_{бок}}{3} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\]

Шаг 5: Найдем высоту боковой грани (MK).

Пусть MK - высота треугольника MBC, проведенная к стороне BC. Тогда площадь треугольника MBC можно выразить как:

\[S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MK\]

Отсюда:

\[MK = \frac{2S_{MBC}}{BC} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}\]

Шаг 6: Найдем косинус угла BMC.

В прямоугольном треугольнике MKC, где KC = BC/2 = 3, MK = 2√3, найдем косинус угла KMC:

\[cos(\angle KMC) = \frac{MK}{MC}\]

Сначала найдем MC по теореме Пифагора:

\[MC = \sqrt{MK^2 + KC^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21}\]

Тогда:

\[cos(\angle KMC) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}\]

Шаг 7: Найдем угол BMC.

Угол BMC равен удвоенному углу KMC.

Но можно пойти другим путем. Рассмотрим равнобедренный треугольник BMC, в котором BM = CM. Высота MK является медианой, значит BK = KC = 3.

Теперь найдем косинус угла BMC, используя теорему косинусов в треугольнике BMC:

\[BC^2 = BM^2 + CM^2 - 2 \cdot BM \cdot CM \cdot cos(\angle BMC)\]

Так как BM = CM = √21 и BC = 6:

\[6^2 = (\sqrt{21})^2 + (\sqrt{21})^2 - 2 \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{21} \cdot cos(\angle BMC)\] \[36 = 21 + 21 - 2 \cdot 21 \cdot cos(\angle BMC)\] \[36 = 42 - 42 \cdot cos(\angle BMC)\] \[42 \cdot cos(\angle BMC) = 42 - 36\] \[42 \cdot cos(\angle BMC) = 6\] \[cos(\angle BMC) = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}\] \[\angle BMC = arccos(\frac{1}{7}) \approx 81.79 \degree\]