IV уровень B, A B C D A C В 7. ABCDABCD — правильная усеченная пирамида, АВ = 6, A,B, 4, ∠C,CA = 45°. Найдите Ѕ.

Решение:

Шаг 1: Анализ данных.

ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная усеченная пирамида, основаниями которой являются квадраты ABCD и A₁B₁C₁D₁.

Сторона нижнего основания AB = 6, сторона верхнего основания A₁B₁ = 4. Угол ∠C₁CA = 45°.

Шаг 2: Определение типа сечения.

Сечение CC₁A₁A - равнобокая трапеция, так как пирамида правильная.

Шаг 3: Найдем высоту трапеции.

Проведем высоту C₁H в трапеции CC₁A₁A. Рассмотрим прямоугольный треугольник CC₁H. Угол ∠C₁CA = 45°, следовательно, треугольник CC₁H равнобедренный и C₁H = CH.

Найдем CH:

\[CH = AC - A_1C_1\]

Найдем диагонали квадратов:

\[AC = AB \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\] \[A_1C_1 = A_1B_1 \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\]

Тогда:

\[CH = AC - A_1C_1 = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\]

Значит, C₁H = 2√2.

Шаг 4: Найдем боковую сторону трапеции.

В прямоугольном треугольнике CC₁H найдем CC₁:

\[CC_1 = \sqrt{C_1H^2 + CH^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4\]

Шаг 5: Найдем площадь трапеции.

\[S = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot C_1H = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2} = (6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20\]