III уровень А, О C, В, А C В 5. АВСА, В,С, — правильная усеченная пирамида, А,В = 6, AB = 12, h = √22. Найдите бox

Решение:

Основаниями правильной усечённой пирамиды являются правильные треугольники ABC и A₁B₁C₁ со сторонами AB = 12 и A₁B₁ = 6 соответственно.

Шаг 1: Найдем периметры оснований.

\[P_{ABC} = 3 \cdot AB = 3 \cdot 12 = 36\] \[P_{A_1B_1C_1} = 3 \cdot A_1B_1 = 3 \cdot 6 = 18\]

Шаг 2: Найдем полупериметры оснований.

\[p_{ABC} = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{36}{2} = 18\] \[p_{A_1B_1C_1} = \frac{P_{A_1B_1C_1}}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Шаг 3: Найдем апофему усеченной пирамиды.

Проведем высоту A₁H в треугольнике AA₁D, где AD и A₁D₁ - высоты соответствующих оснований.

Тогда высота A₁H = √22. Разность высот оснований AH = (AD - A₁D₁)

Высота равностороннего треугольника:

\[AD = \frac{AB \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\] \[A_1D_1 = \frac{A_1B_1 \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

Тогда:

\[AH = AD - A_1D_1 = 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\]

Тогда апофема AA₁:

\[AA_1 = \sqrt{A_1H^2 + AH^2} = \sqrt{(\sqrt{22})^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{22 + 27} = \sqrt{49} = 7\]

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности.

\[S_{бок} = \frac{P_{ABC} + P_{A_1B_1C_1}}{2} \cdot AA_1 = \frac{36 + 18}{2} \cdot 7 = \frac{54}{2} \cdot 7 = 27 \cdot 7 = 189\]