38. (4ax³-6bx²-4cx+e)dx.

38. Для решения данного интеграла воспользуемся свойствами интегралов:

$$\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$$

$$\int cf(x) dx = c \int f(x) dx$$

а также формулой:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

где C - константа интегрирования.

В нашем случае, интеграл имеет вид:

$$\int (4ax^3 - 6bx^2 - 4cx + e) dx = 4a\int x^3 dx - 6b \int x^2 dx - 4c \int x dx + e \int dx$$

Теперь применим формулу интегрирования для каждого члена:

$$4a \int x^3 dx = 4a \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = ax^4$$

$$6b \int x^2 dx = 6b \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2bx^3$$

$$4c \int x dx = 4c \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2cx^2$$

$$e \int dx = ex$$

Собираем все вместе:

$$\int (4ax^3 - 6bx^2 - 4cx + e) dx = ax^4 - 2bx^3 - 2cx^2 + ex + C$$

Ответ: $$ax^4 - 2bx^3 - 2cx^2 + ex + C$$