45. dx. Решение. dx = x²dx-xdx+dx=-

45. Выражение для интегрирования имеет вид:

$$\int \frac{3x^3 - 2x^2 + 5x}{2x} dx$$

Сначала упростим выражение:

$$\int \frac{3x^2 - 2x + 5}{2} dx = \int (\frac{3}{2}x^2 - x + \frac{5}{2}) dx$$

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

$$\int (\frac{3}{2}x^2 - x + \frac{5}{2}) dx = \frac{3}{2} \int x^2 dx - \int x dx + \frac{5}{2} \int dx$$

Используя формулу:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Получим:

$$\frac{3}{2} \int x^2 dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = \frac{1}{2}x^3 + C_1$$

$$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$$

$$\frac{5}{2} \int dx = \frac{5}{2}x + C_3$$

Собираем все вместе:

$$\int (\frac{3}{2}x^2 - x + \frac{5}{2}) dx = \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x + C$$

Ответ: $$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x + C$$