39. (x²+√x)dx. Решение. (3x+√x)dx=x/dx+x/2dx=3x/+

39. Для решения данного интеграла воспользуемся свойствами интегралов:

$$\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$$

а также формулой:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

где C - константа интегрирования.

В нашем случае, интеграл имеет вид:

$$\int (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x}) dx = \int x^{\frac{2}{3}} dx + \int x^{\frac{1}{2}} dx$$

Теперь применим формулу интегрирования для каждого члена:

$$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C_1 = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C_1 = \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^5} + C_1$$

$$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_2 = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_2 = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_2 = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C_2$$

Собираем все вместе:

$$\int (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x}) dx = \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^5} + \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C$$

Ответ: $$\frac{3}{5} \sqrt[3]{x^5} + \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C$$