42. (2x-1)3dx. Решение. [(2x-1)dx= [(8x-12x²+6x-1)dx=8] xdx --12] xdx + 6 x dx-dx=2x²-4x² + 3x²-х+С. Дифференцировани-ем результата легко убедиться, что решение верное.

42. Выражение для интегрирования имеет вид:

$$\int (2x-1)^3 dx$$

Сначала раскроем скобки:

$$(2x-1)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 - 1^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$$

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

$$\int (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) dx = 8 \int x^3 dx - 12 \int x^2 dx + 6 \int x dx - \int dx$$

Используя формулу:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Получим:

$$8 \int x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4$$

$$12 \int x^2 dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} = 4x^3$$

$$6 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$$

$$\int dx = x$$

Собираем все вместе:

$$\int (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) dx = 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x + C$$

Ответ: $$2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x + C$$