41. (x-5)dx.

41. Выражение для интегрирования имеет вид:

$$\int (x^{-5} + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{4x^3} - \frac{2}{a^2}) dx$$

Для решения данного интеграла воспользуемся свойствами интегралов:

$$\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$$

$$\int cf(x) dx = c \int f(x) dx$$

а также формулой:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

где C - константа интегрирования.

Представим исходный интеграл в виде суммы интегралов:

$$\int (x^{-5} + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{4x^3} - \frac{2}{a^2}) dx = \int x^{-5} dx + 3\int x^{-2} dx - \frac{1}{4} \int x^{-3} dx - \frac{2}{a^2}\int dx$$

Теперь применим формулу интегрирования для каждого члена:

$$\int x^{-5} dx = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_1 = \frac{x^{-4}}{-4} + C_1 = -\frac{1}{4x^4} + C_1$$

$$3 \int x^{-2} dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{3}{x} + C_2$$

$$\frac{1}{4} \int x^{-3} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C_3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C_3 = -\frac{1}{8x^2} + C_3$$

$$\frac{2}{a^2} \int dx = \frac{2}{a^2}x + C_4$$

Собираем все вместе:

$$\int (x^{-5} + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{4x^3} - \frac{2}{a^2}) dx = -\frac{1}{4x^4} - \frac{3}{x} + \frac{1}{8x^2} - \frac{2x}{a^2} + C$$

Ответ: $$- \frac{1}{4x^4} - \frac{3}{x} + \frac{1}{8x^2} - \frac{2x}{a^2} + C$$