АЗ. Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии (в), если в₁ = 5; b₃ = 80.

Дано: геометрическая прогрессия, $$b_1 = 5$$, $$b_3 = 80$$.

Найти: $$S_5$$.

Решение:

n-ый член геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$, где $$n = 3$$.

Тогда:

$$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$$

Подставим известные значения:

$$80 = 5 \cdot q^2$$

$$q^2 = \frac{80}{5} = 16$$

$$q = \pm 4$$

Сумму n первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$$, где $$n = 5$$.

Рассмотрим оба случая:

• Если $$q = 4$$, то:

$$S_5 = \frac{5 \cdot (4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{5 \cdot (1024 - 1)}{3} = \frac{5 \cdot 1023}{3} = \frac{5115}{3} = 1705$$

• Если $$q = -4$$, то:

$$S_5 = \frac{5 \cdot ((-4)^5 - 1)}{-4 - 1} = \frac{5 \cdot (-1024 - 1)}{-5} = \frac{5 \cdot (-1025)}{-5} = \frac{-5125}{-5} = 1025$$

Ответ: 1705 или 1025