B10. В прямоугольном треугольнике ABC (∠ABC = 90°) проведена высота BE, катет AB равен 3√10, CE − AE = 24. Найдите площадь треугольника ABC.

Обозначим AE = p, CE = q. Для прямоугольного треугольника квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета: AB² = AE · AC. Поэтому p(p + q) = (3√10)² = 90.

Из условия q − p = 24, значит q = p + 24. Подставляем: p(2p + 24) = 90, откуда p² + 12p − 45 = 0. Положительный корень — p = 3, поэтому q = 27 и AC = 30.

Также BC² = CE · AC = 27 · 30 = 810, следовательно, BC = 9√10.

Площадь треугольника: S = AB · BC : 2 = (3√10 · 9√10) : 2 = 135.

Ответ: 135.