B2 Лодка прошла по течению реки 10 км, а затем 2 км против течения, затратив на весь путь 1,5 часа. Найдите собственную скорость лодки (в км/ч), если скорость течения 3 км/ч.

Задание B2

Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (км/ч).

Скорость течения реки \( v_т = 3 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v_{тек} = v + v_т = v + 3 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v - v_т = v - 3 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_{тек} = \frac{S_{тек}}{v_{тек}} = \frac{10}{v+3} \) часа.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{2}{v-3} \) часа.

Общее время в пути \( t_{общ} = 1.5 \) часа.

Составим уравнение:

\[ t_{тек} + t_{против} = t_{общ} \]

\[ \frac{10}{v+3} + \frac{2}{v-3} = 1.5 \]

Приведём к общему знаменателю \( (v+3)(v-3) \):

\[ \frac{10(v-3) + 2(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 1.5 \]

\[ \frac{10v - 30 + 2v + 6}{v^2 - 9} = 1.5 \]

\[ \frac{12v - 24}{v^2 - 9} = 1.5 \]

Умножим обе части на \( v^2 - 9 \):

\[ 12v - 24 = 1.5(v^2 - 9) \]

\[ 12v - 24 = 1.5v^2 - 13.5 \]

Перенесём всё в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 1.5v^2 - 12v - 13.5 + 24 = 0 \]

\[ 1.5v^2 - 12v + 10.5 = 0 \]

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ 3v^2 - 24v + 21 = 0 \]

Разделим на 3:

\[ v^2 - 8v + 7 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета: сумма корней = 8, произведение корней = 7. Корни: 1 и 7.

\( v = 1 \) или \( v = 7 \).

Проверим ОДЗ: \( v - 3
e 0 \), значит \( v
e 3 \). Оба корня удовлетворяют этому условию.

Однако, скорость лодки против течения \( v - 3 \) должна быть положительной, иначе лодка не сможет двигаться против течения. Поэтому \( v > 3 \).

Следовательно, \( v = 1 \) не подходит. Остаётся \( v = 7 \).

Проверим решение при \( v = 7 \):

Скорость по течению: \( 7 + 3 = 10 \) км/ч. Время: \( \frac{10}{10} = 1 \) час.

Скорость против течения: \( 7 - 3 = 4 \) км/ч. Время: \( \frac{2}{4} = 0.5 \) часа.

Общее время: \( 1 + 0.5 = 1.5 \) часа. Это совпадает с условием.

Ответ: 7 км/ч