B2 Сумму прибыли салона красоты описывает функция f(t) = t³ - 108t + 115 (тыс.руб./месяц). Найдите точки экстремумов функции для промежутка t>0.

Решение:

• Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.
• Дана функция прибыли: \(f(t) = t^3 - 108t + 115\)
• Найдем производную функции по \(t\):
• \[ f'(t) = (t^3 - 108t + 115)' \]
• \[ f'(t) = 3t^2 - 108 \]
• Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• \[ 3t^2 - 108 = 0 \]
• \[ 3t^2 = 108 \]
• \[ t^2 = \frac{108}{3} \]
• \[ t^2 = 36 \]
• \[ t = \pm\sqrt{36} \]
• \[ t = \pm 6 \]
• По условию задачи, мы рассматриваем промежуток \(t > 0\). Следовательно, критическая точка - это \(t = 6\).
• Для определения, является ли эта точка точкой максимума или минимума, найдем вторую производную:
• \[ f''(t) = (3t^2 - 108)' \]
• \[ f''(t) = 6t \]
• Подставим \(t = 6\) во вторую производную:
• \[ f''(6) = 6 \cdot 6 = 36 \]
• Так как \(f''(6) > 0\), то в точке \(t = 6\) функция имеет локальный минимум.
• Найдем значение прибыли в этой точке:
• \[ f(6) = 6^3 - 108 \cdot 6 + 115 \]
• \[ f(6) = 216 - 648 + 115 \]
• \[ f(6) = 331 - 648 \]
• \[ f(6) = -317 \]
• Поскольку нас просят найти точки экстремума, а не их значения, то точка экстремума - это \(t=6\).

Ответ: Точка экстремума (минимума) функции для промежутка t>0 находится при t = 6.