B3 Скорость разрушения красящего пигмента после окрашивания волос зависит от способа окрашивания и изменяется по закону m(t) = -0,4 – 1,2t (мг/месяц). 1) Найдите функцию уменьшения количества красящего пигмента M(t), если начальная масса составляла 226 мг.

Решение:

1) Нахождение функции уменьшения количества красящего пигмента M(t):

• Нам дана скорость разрушения пигмента в зависимости от времени \(t\) (в месяцах):
• \[ m(t) = -0.4 - 1.2t \]
• Эта функция описывает изменение массы пигмента в единицу времени (мг/месяц).
• Функция \(M(t)\) должна описывать общее количество пигмента, которое уменьшается со временем.
• Скорость разрушения \(m(t)\) является производной от функции количества пигмента \(M(t)\). То есть, \(M'(t) = m(t)\).
• Чтобы найти \(M(t)\), нам нужно проинтегрировать \(m(t)\):
• \[ M(t) = \int m(t) dt = \int (-0.4 - 1.2t) dt \]
• \[ M(t) = -0.4t - 1.2 \frac{t^2}{2} + C \]
• \[ M(t) = -0.4t - 0.6t^2 + C \]
• Здесь \(C\) — константа интегрирования, которая определяется из начальных условий.
• По условию, начальная масса пигмента составляла 226 мг. Это означает, что при \(t = 0\), \(M(0) = 226\).
• Подставим эти значения в уравнение для \(M(t)\):
• \[ M(0) = -0.4(0) - 0.6(0)^2 + C \]
• \[ 226 = 0 - 0 + C \]
• \[ C = 226 \]
• Таким образом, функция, описывающая количество красящего пигмента, имеет вид:
• \[ M(t) = -0.6t^2 - 0.4t + 226 \]
• Обратите внимание, что в условии скорость разрушения дана как \(m(t) = -0.4 - 1.2t\). Обычно скорость разрушения выражается положительной величиной, а сам факт разрушения учитывается при интегрировании. Если предполагается, что \(m(t)\) — это скорость изменения (то есть производная), то отрицательный знак в \(-0.4\) может быть ошибкой в условии, или же он означает, что процесс разрушения начинается с некоторой константы, которая также уменьшается. Однако, если мы строго следуем условию, то \(m(t)\) — это скорость изменения.
• Если предположить, что \(m(t)\) — это скорость *уменьшения*, то она должна быть положительной, т.е. \(|m(t)| = 0.4 + 1.2t\). В таком случае, \(M'(t) = -(0.4 + 1.2t)\) или \(M'(t) = -0.4 - 1.2t\), что приводит к тому же результату.
• Еще один вариант интерпретации: если \(m(t)\) - это скорость *уменьшения*, то \(M'(t) = -m(t) = -(-0.4 - 1.2t) = 0.4 + 1.2t\). В этом случае:
• \[ M(t) = \int (0.4 + 1.2t) dt = 0.4t + 0.6t^2 + C \]
• При \(t=0\), \(M(0)=226\), следовательно \(C=226\).
• \[ M(t) = 0.6t^2 + 0.4t + 226 \]
• Однако, формулировка «Скорость разрушения ... изменяется по закону \(m(t) = -0.4 – 1.2t\)» указывает, что \(m(t)\) — это и есть скорость изменения. Знак минус может означать, что это скорость, направленная против положительного направления оси, или же, что сама скорость разрушения имеет такую формулу (что менее вероятно в физическом смысле для скорости разрушения).
• Будем следовать наиболее прямой интерпретации: \(M'(t) = m(t)\).

Функция уменьшения количества красящего пигмента M(t):

• \[ M(t) = -0.6t^2 - 0.4t + 226 \]

Ответ: M(t) = -0.6t² - 0.4t + 226