B3. Сумма двух чисел равна 11, а произведение равно 24. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть два искомых числа будут x и y.

У нас есть два условия, которые можно записать в виде системы уравнений:

1. x + y = 11 (сумма чисел равна 11)
2. x \cdot y = 24 (произведение чисел равно 24)

Из первого уравнения выразим y:

y = 11 - x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

x \cdot (11 - x) = 24

Раскроем скобки:

11x - x² = 24

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

-x² + 11x - 24 = 0

Умножим все уравнение на -1, чтобы коэффициент при x² был положительным:

x² - 11x + 24 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac

Где a = 1, b = -11, c = 24.

D = (-11)² - 4 \cdot 1 \cdot 24

D = 121 - 96

D = 25

\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5

Найдем корни для x:

x₁ = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8

x₂ = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3

Теперь найдем соответствующие значения y, используя уравнение y = 11 - x:

• Если x₁ = 8, то y₁ = 11 - 8 = 3.
• Если x₂ = 3, то y₂ = 11 - 3 = 8.

Таким образом, искомые числа — это 3 и 8.

Ответ: 3 и 8