13.(2 балла) Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями у = х² 3x-4, y=0, x=1, x = 2

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $$ y = x^2 - 3x - 4, y = 0, x = 1, x = 2 $$.

Сначала найдем корни уравнения $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$. Дискриминант $$ D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 $$. Корни $$ x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1 $$ и $$ x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 $$. Так как корни лежат вне отрезка [1, 2], функция на этом отрезке не меняет знака.

Найдем значение функции в точке x = 1: $$ y(1) = 1^2 - 3(1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 $$. Функция отрицательна на отрезке [1, 2].

Тогда площадь равна:

$$ S = \int_1^2 |x^2 - 3x - 4| dx = -\int_1^2 (x^2 - 3x - 4) dx = -[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 4x]_1^2 = -[(\frac{8}{3} - \frac{12}{2} - 8) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 4)] = -[(\frac{8}{3} - 6 - 8) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 4)] = -(\frac{7}{3} - 14 + \frac{3}{2}) = -(\frac{14 - 84 + 9}{6}) = -(\frac{-61}{6}) = \frac{61}{6} = 10\frac{1}{6} $$

Ответ: 10.1667