Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Краткое пояснение:

Для решения задачи составим уравнение, основанное на формуле \( ext{расстояние} = ext{скорость} imes ext{время} \). Скорость баржи по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения, а против течения — разности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем скорости баржи.
   Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (км/ч).
   Скорость течения реки \( u = 5 \) км/ч.
   Скорость баржи по течению: \( v + u = v + 5 \) км/ч.
   Скорость баржи против течения: \( v - u = v - 5 \) км/ч.
2. Шаг 2: Определяем время в пути.
   Время движения по течению: \( t_1 = \frac{56}{v+5} \) часов.
   Время движения против течения: \( t_2 = \frac{54}{v-5} \) часов.
3. Шаг 3: Составляем уравнение, зная, что общее время в пути равно 5 часам:
   \( t_1 + t_2 = 5 \)
   \( \frac{56}{v+5} + \frac{54}{v-5} = 5 \)
4. Шаг 4: Решаем уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю \( (v+5)(v-5) = v^2 - 25 \):
   \( \frac{56(v-5) + 54(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 5 \)
   \( 56v - 280 + 54v + 270 = 5(v^2 - 25) \)
   \( 110v - 10 = 5v^2 - 125 \)
5. Шаг 5: Приводим уравнение к стандартному квадратному виду \( ax^2 + bx + c = 0 \):
   \( 5v^2 - 110v - 115 = 0 \)
   Разделим все члены на 5:
   \( v^2 - 22v - 23 = 0 \)
6. Шаг 6: Решаем квадратное уравнение относительно \( v \). Найдем дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576 \).
   \( \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 \).
   Найдем корни:
   \( v_1 = \frac{-(-22) - 24}{2 \cdot 1} = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
   \( v_2 = \frac{-(-22) + 24}{2 \cdot 1} = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23 \).
7. Шаг 7: Выбираем физически корректный ответ. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = -1 \) не подходит.
   Собственная скорость баржи равна 23 км/ч.

Ответ: 23 км/ч