15. 4 B C В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 75, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 97/69. Найдите sin ∠ABC.

В прямоугольном треугольнике АВС с высотой СН, опущенной на гипотенузу, рассмотрим треугольник АHC (угол AHC = 90°). Мы знаем, что AC = 75 и СН = 9√69 / 69 = 9/√69.

Чтобы найти сторону AH используем теорему Пифагора:

AH = √(AC² - CH²) = √(75² - (9/√69)²) = √(5625 - 81/69) = √(5625 - 27/23) = √(129375/23 - 27/23) = √(129348/23)

Теперь нам нужно найти гипотенузу AB. Для этого воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике, которое гласит: AC² = AH * AB. Выразим AB:

AB = AC² / AH = 75² / √(129348/23) = 5625 / √(129348/23) = 5625 * √(23/129348)

Теперь найдем sin ∠ABC = AC / AB = 75 / (5625 * √(23/129348)) = 75 / (5625 * √(23/129348)) = 75 * √(129348/23) / 5625 = √(129348/23) / 75

sin ∠ABC = √(129348/23) / 75

Ответ: √(129348/23) / 75