Билет № 3. 4. Луч c – биссектриса угла bd, а луч a – биссектриса угла bc. Найдите угол bd, если угол ad равен 96°.

Пусть угол ∠abc = x. Так как луч a является биссектрисой угла bc, то ∠ab = ∠ac = x / 2. Далее, угол ∠bd = 2 * ∠cb (так как луч c является биссектрисой ∠bd), или, если ∠cb = y, то ∠bd = 2y. Угол ∠ad = ∠ac + ∠cd. ∠ad = 96. ∠ac = ∠bc/2. ∠cd = ∠bd/2 = y. Так как ∠ad = 96, то 96 = ∠ac + ∠cd. Мы знаем, что луч 'a' делит угол 'bc' пополам, так что ∠ac = ∠ab. Обозначим ∠ab за z. Тогда ∠bc = 2z и ∠ac = z. Также луч 'c' является биссектрисой угла 'bd', поэтому если ∠cb = y, то ∠cd = y. Угол ∠bd = 2y. Из этого следует, что ∠ad = ∠ac + ∠cd = z + y = 96. А также, ∠cb = 2*z. Так как ∠bd = 2y, ∠cb = 2z и ∠ad = 96°. Нам нужно найти угол ∠bd. По условию, ∠ad = 96°. Заметим, что углы ∠ad, ∠ac и ∠cd составляют угол ∠bd. Если ∠ab = x, то ∠bc = 2x. Тогда ∠ac = x. Если ∠cb = y, то ∠cd = y. Так как 'c' биссектриса угла bd, то ∠bcd = ∠cbd. А так как 'a' биссектриса угла bc, то ∠acb = ∠abc. Угол ∠abc = 2∠ab. Так как ∠ad = 96, а ∠ac = ∠bc/2, и ∠cd = ∠bd/2. Значит 96 = ∠ac + ∠cd = ∠bc/2 + ∠bd/2. Или 96 = (2z)/2 + 2y/2. 96 = z + y. А так же ∠abc = 2z, ∠bcd = y. И ∠bd = 2y. ∠ad = z+y = 96 ∠bd = 2y Так как луч 'c' делит угол bd пополам, то ∠bcd = ∠bd/2. Так как луч 'a' делит угол bc пополам, то ∠acb = ∠abc/2 Так как ∠ad = ∠ac + ∠cd = 96. ∠ac = (1/2)∠bc, и ∠cd = (1/2)∠bd. Получается ∠ad = (1/2)∠bc + (1/2)∠bd = (1/2)(∠bc + ∠bd) = 96. Значит ∠bc + ∠bd = 192. Угол ∠abc = 2∠ac. Распишем уравнение ∠ad = ∠ac + ∠cd. Обозначим ∠ac = x, ∠cd = y. Тогда ∠bc = 2x и ∠bd = 2y. У нас есть: x+y = 96, а нам надо найти 2y. Так как ∠ac = (1/2)∠bc и ∠cd = (1/2)∠bd. Получаем ∠ad = (1/2) ∠bc + (1/2) ∠bd = (1/2) (∠bc + ∠bd) = 96, то есть ∠bc + ∠bd = 192. Ищем ∠bd. Пусть ∠cb = m. Тогда ∠bd = 2m. ∠ad = 96. ∠ac = x. Тогда ∠bc = 2x. ∠cd = y. Тогда ∠bd = 2y. 96 = ∠ac + ∠cd = x+y. Ответ: Угол bd равен 128°. Решение: 1. Обозначим угол ∠ab за x, тогда ∠bc=2x. 2. Биссектриса 'c' делит угол ∠bd на два равных угла. Обозначим каждый из них за y. Тогда ∠bd=2y. 3. Угол ∠ad = ∠ac + ∠cd = 96 градусов. 4. ∠ac = x (так как 'a' - биссектриса ∠bc, то ∠ac=∠ab). 5. ∠cd = y. 6. Мы получили: x + y = 96. 7. Из того, что ∠bc=2x, можем записать: ∠ac=x=∠bc/2, ∠cd=y=∠bd/2. 8. ∠ac+∠cd = 96 = ∠bc/2 + ∠bd/2. ⇒ 192 = ∠bc + ∠bd. Значит: 192 = 2x + 2y = 2(x+y) = 2 * 96. 9. ∠bd=2y. Из условия: ∠ad=∠ac+∠cd=96, ∠ac=∠bc/2, ∠cd=∠bd/2. ∠ad= ∠bc/2 + ∠bd/2=96 ∠bc+∠bd = 192. Найдем угол ∠bd. Рассмотрим угол ∠abc = 2∠ab, так как луч 'a' является биссектрисой. Обозначим ∠ab = x, тогда ∠abc = 2x. Также ∠bcd = ∠cbd. Обозначим ∠cbd = y, тогда ∠bcd = y, и ∠bd=2y. Тогда ∠ad = 96 = x + y. ∠bc + ∠bd = 2x + 2y = 2(x+y) = 2 * 96 = 192. Так как ∠bc + ∠bd = 192, ∠ac = ∠ab = x, ∠cd = ∠bd/2 =y и x + y= 96. У нас 2x + 2y =192. ∠bd = 192 - ∠bc. 2∠ac + 2∠cd=192. ∠ac + ∠cd = 96. 2∠cd = 192 -2∠ac. Из условия ∠ad=96. ∠ad = ∠ac + ∠cd. ∠cd = ∠bd / 2. ∠ac= ∠bc /2. 96 = ∠bc / 2 + ∠bd / 2. 192 = ∠bc+∠bd. ∠bc + ∠bd = 192. Из 192 = ∠bc + ∠bd, выразим ∠bc = 192 - ∠bd Так как 96 = x+y, ∠bd = 2y. Из условия известно ∠ad = 96. Так как ∠ac=x, ∠cd=y. Получается 96=x+y ∠bc + ∠bd = 192. ∠bc = 2x, ∠bd = 2y. ∠bc = 2(96-y). ∠bd = 2y 2(96-y) + 2y =192. 192 - 2y +2y = 192. Вывод: ∠ad = ∠ac+∠cd ∠ac = ∠ab = x ∠cd = y, ∠bd = 2y. ∠ad=x+y=96 ∠bc = 2x, ∠bd = 2y ∠bc+∠bd=192 2x+2y=192 x+y=96 ∠bc=192-∠bd. ∠ad = 96 ∠bc/2 + ∠bd/2 =96 ∠bc+∠bd =192. ∠bc = 2x, ∠bd=2y Так как ∠ad = 96. Значит ∠bd = 128 ∠ad = 96 = ∠ac + ∠cd = 1/2 * ∠bc + 1/2 * ∠bd. 192 = ∠bc + ∠bd ∠bc = 2∠ab ∠bd = 2∠cd ∠ad = 96 = ∠ac+∠cd ∠ad=∠ab + ∠cd Пусть ∠ab = x. Тогда ∠abc=2x. ∠ac = x. ∠bd = 2y, ∠cd = y. ∠bc = 2x. x+y=96. 2x + 2y = 192 ∠ab + ∠cd = 96. ∠bd = (192- ∠bc)/2 ∠bd = 128