Билет №11. 1. Какой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны. 3. Найти смежные углы, если один из них на 45° больше другого.

Ответ:

1. Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°). Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла) и катеты (две другие стороны).
2. Дано: a || b, c - секущая. Доказать: соответственные углы равны. Доказательство: Пусть a || b, c - секущая, пересекающая a и b соответственно в точках A и B. Рассмотрим соответственные углы ∠1 и ∠2. Пусть ∠1 ≠ ∠2. Отложим от прямой b в точке B угол ∠3, равный ∠1. Тогда прямая d, содержащая сторону угла ∠3, будет параллельна прямой a (по признаку параллельности прямых). Но через точку B можно провести только одну прямую, параллельную прямой a (по аксиоме параллельных прямых). Следовательно, прямая d должна совпадать с прямой b, а угол ∠3 должен совпадать с углом ∠2. Таким образом, ∠1 = ∠2.
3. Пусть один из смежных углов равен x, тогда другой равен x + 45°. Сумма смежных углов равна 180°. Получаем уравнение: x + x + 45° = 180°. 2x = 135°. x = 67,5°. Тогда другой угол равен 67,5° + 45° = 112,5°. Ответ: 67,5° и 112,5°.