Билет №5, Задача 3: Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AB = BC). Окружность вписана, и точка касания делит боковую сторону BC на отрезки 3 см (ближе к основанию) и 4 см (ближе к вершине B). Значит, BC = 3 + 4 = 7 см. Так как AB = BC, то AB = 7 см. Пусть D, E, F - точки касания окружности со сторонами BC, AC, AB соответственно. Тогда BD = BF = 3 см (как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности). Тогда AF = AB - BF = 7 - 3 = 4 см. Так как AF = AE, то AE = 4 см. Также CD = CE = 4 см. Сторона AC = AE + CE = 4 + 4 = 8 см. Периметр треугольника P = AB + BC + AC = 7 + 7 + 8 = 22 см. Ответ: 22 см.