Билет №1 3) Радиус ОВ окружности с центром в точке О пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если BD = 1см, а радиус окружности равен 5см.

Решение:

1. Нам дан радиус окружности \( R = 5 \) см.
2. В окружности проведён радиус \( OB \), который перпендикулярен хорде \( AC \) в точке \( D \).
3. По свойству перпендикуляра, проведённого из центра окружности к хорде, этот перпендикуляр делит хорду пополам. Следовательно, \( AD = DC \).
4. Также, из условия задачи, \( BD = 1 \) см.
5. Радиус \( OB = 5 \) см.
6. Мы можем найти длину отрезка \( OD \), так как \( OD = OB - BD = 5 - 1 = 4 \) см.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ ADO \) (так как \( OD \perp AC \)). По теореме Пифагора: \( AD^2 + OD^2 = AO^2 \), где \( AO \) — радиус окружности, \( AO = 5 \) см.
8. Подставим известные значения: \( AD^2 + 4^2 = 5^2 \)
9. \( AD^2 + 16 = 25 \)
10. \( AD^2 = 25 - 16 \)
11. \( AD^2 = 9 \)
12. \( AD = \sqrt{9} = 3 \) см.
13. Так как \( AD = DC \), то длина хорды \( AC = AD + DC = 3 + 3 = 6 \) см.

Ответ: 6 см.