Билет №1 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Периметр \( P = 2(a+b) \), диагональ \( d \). По теореме Пифагора \( a^2 + b^2 = d^2 \).

По условию:

\( 2(a+b) = 56 \) \(\implies\) \( a+b = 28 \)

\( d = 20 \) \(\implies\) \( a^2 + b^2 = 20^2 = 400 \)

Возведём первое уравнение в квадрат:

\( (a+b)^2 = 28^2 \)

\( a^2 + 2ab + b^2 = 784 \)

Подставим \( a^2 + b^2 = 400 \):

\( 400 + 2ab = 784 \)

\( 2ab = 784 - 400 \)

\( 2ab = 384 \)

Площадь прямоугольника \( S = ab \). Следовательно:

\( S = \frac{384}{2} = 192 \)

Ответ: 192.