БИЛЕТ №8 1. Сформулировать определение окружности, радиуса, диаметра. Построить чертеж. 2. Периметр прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой АВ= 10 см равен 22 см. Найдите катет АС, если угол А.

Определения:

Окружность — это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Радиус (R) — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Также это расстояние от центра до любой точки окружности.

Диаметр (D) — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр равен двум радиусам (D = 2R).

Решение задачи 2:

Дано: Прямоугольный треугольник ABC. Гипотенуза AB = 10 см. Периметр (P) = 22 см.

Найти: Катет AC.

Пошаговое решение (с предположением о возможности найти угол A):

1. Шаг 1: Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон: P = AB + AC + BC.
2. Шаг 2: Подставляем известные значения: 22 = 10 + AC + BC.
3. Шаг 3: Находим сумму катетов: AC + BC = 22 - 10 = 12 см.
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике действует теорема Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$.
5. Шаг 5: Подставляем известные значения: $$AC^2 + BC^2 = 10^2 = 100$$.
6. Шаг 6: У нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} AC + BC = 12 \\ AC^2 + BC^2 = 100 \end{cases} \]
7. Шаг 7: Из первого уравнения выразим BC: BC = 12 - AC.
8. Шаг 8: Подставим во второе уравнение: $$AC^2 + (12 - AC)^2 = 100$$.
9. Шаг 9: Раскроем скобки: $$AC^2 + 144 - 24AC + AC^2 = 100$$.
10. Шаг 10: Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $$2AC^2 - 24AC + 44 = 0$$.
11. Шаг 11: Разделим на 2: $$AC^2 - 12AC + 22 = 0$$.
12. Шаг 12: Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 · 1 · 22 = 144 - 88 = 56$$.
13. Шаг 13: Найдем корни: $$AC = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 6 \pm \sqrt{14}$$.
14. Шаг 14: Поскольку в условии не указан угол А, мы получили два возможных значения для катета АС. Если угол А был бы известен, можно было бы определить конкретное значение. Например, если бы угол А был 30°, то AC = 10 * cos(30°) = $$10 · rac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$.

Ответ: Катет AC может быть равен $$6 + \sqrt{14}$$ или $$6 - \sqrt{14}$$. Точное значение зависит от угла А, который не указан в задании.