Билет 8, Задание 2: Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулировать обратное утверждение.

Свойство: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с углом ∠A = 30° и ∠C = 90°. Достроим этот треугольник до равностороннего треугольника ABD, где BC является высотой. Т.к. ∠A = 30°, то ∠BAD = 60°. ∠C = 90°, следовательно, ∠CBD = 60°, т.е. ∠ABD = 60°. Отсюда треугольник ABD равносторонний, AD=AB=BD. BC - высота, она является медианой, то есть AC = 1/2 AD. AD = AB, поэтому AC = 1/2 AB. Обратное утверждение: Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.