Билет 9, Задание 2: Доказать, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Что такое неравенство треугольника.

Неравенство треугольника: Для любых трех точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, выполняется неравенство: AB < AC + BC, BC < AB + AC и AC < AB + BC. То есть, каждая сторона треугольника меньше суммы длин двух других его сторон. Доказательство: Допустим, у нас есть треугольник ABC. 1. Рассмотрим неравенство AB < AC + BC. Представим, что точки A, B, и C не лежат на одной прямой. Мы знаем, что кратчайшее расстояние между двумя точками - это прямая. Поэтому длина отрезка AB всегда будет меньше, чем длина пути, если мы пойдем от A к C и потом от C к B. То есть, AB < AC + BC. 2. Аналогично можно доказать, что BC < AB + AC и AC < AB + BC. Если три точки лежат на одной прямой, то выполняется равенство (к примеру: если B лежит на отрезке AC, то AB + BC = AC) и неравенство треугольника уже не выполняется. Таким образом, неравенство треугольника показывает, что треугольник можно построить, только если сумма двух любых сторон больше третьей.