25. Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 10 и МВ = 18. Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке Д. Найдите CD.

По свойству биссектрисы треугольника:

$$\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$$

Пусть AC = 5x, BC = 9x.

По теореме о касательной и секущей:

$$CD^2 = AD \cdot BD$$

По свойству касательной к описанной окружности:

$$CD^2 = AD \cdot BD$$

$$CD = \frac{AM \cdot MB}{(AM+MB)^2} = \frac{10*18}{28^2}$$

$$\frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BC}$$

$$CD^2 = AD \cdot BD$$

По свойству секущей и касательной CD^2 = AD * BD

Тогда AD/AC = BD/BC, тогда AD/5x = BD/9x, 9AD = 5BD

Пусть AD = y, BD = y+28, 9y = 5y + 140, 4y = 140, y = 35

CD^2 = 35*63, CD = 7*3*sqrt5, CD = 21 sqrt5.

Ответ: 21